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HENRI POINCARÉ. Manuscrit autographe, Mémoire sur

Manuscrit de travail de cet important mémoire, présentant des ratures, des corrections et des additions, et une figure, publié en 1882 dans les Acta Mathematica (vol. I, pp. 193-294). Cette étude est divisée en 11 chapitres (le plan sur le feuillet joint est différent) : 1 Séries Thétafuchsiennes ; 2 Classification et propriétés générales ; 3 Zéros et Infinis ; 4 Fonctions Fuchsiennes ; 5 1ère Famille, Genre O, ; 6 1ère Famille, Genre quelconque ; 7 2e Famille, Genre O ; 8 3e Famille ; 9 5e Famille, Genre O ; 10 Résumé ; 11 Historique. À la fin de son travail, Poincaré fait un bref historique des fonctions fuchsiennes, notamment des travaux de Schwarz qui « a démontré d'une manière rigoureuse le principe dit de Dirichlet et la possibilité de l'Abbildung du cercle sur une figure plane quelconque et en particulier sur un polygone limité par des arcs de cercle. S'il avait connu les conditions de discontinuité des groupes, il aurait pu être conduit ainsi à démontrer l'existence des fonctions fuchsiennes dans le cas particulier où le polygone Ro est symétrique. J'aurais donc pu me servir de ces résultats, mais j'ai préféré suivre une autre voie : 1° parce que je n'aurais pu démontrer ainsi l'existence des fonctions fuchsiennes dans le cas où le polygone Ro n'est pas symétrique. 2° parce que les développements en séries dont j'ai fait usage me donnaient non seulement la démonstration de l'existence de la fonction, mais son expression analytique ».