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HENRI POINCARÉ. Manuscrit autographe signé en têt

Manuscrit de travail complet de cette importante étude publiée en 1884 dans les Acta mathematica (vol. V, pp. 209-278). Le manuscrit présente d'importants remaniements, notamment dans la partie centrale Ce mémoire est divisé en 9 parties : 1 Introduction ; 2 Classification des Équations Linéaires ; 3 Réduction des Équations Linéaires ; 4 Fonctions Zétafuchsiennes ; 5 Développements en Séries ; 6 Décomposition en éléments simples ; 7 Extension à la Deuxième Famille ; 8 Fonction de la deuxième espèce ; 9 Fonctions diverses. Citons la conclusion : « Les fonctions zétafuchsiennes dont il a été question dans les paragraphes précédents ne sont pas les seules que l'on peut imaginer. On peut construire en effet des fonctions zétafuchsiennes qui existent dans toute l'étendue du plan ; ce sont des fonctions qui subissent les substitutions linéaires d'un groupe G quand la variable subit les substitutions d'un groupe fuchsien g de la 3e, de la 4e, de la 5e ou de la 7e familles. On peut aussi remplacer le groupe g par un groupe kleinéen, et on obtiendra de la sorte des fonctions zétakleinéennes, existant, soit dans toute l'étendue du plan, soit dans un certain domaine. Cela suffit pour faire comprendre que dans les cinq mémoires des Acta Mathematica que j'ai consacrés à l'étude des transcendantes fuchsiennes et kleinéennes, je n'ai fait qu'effleurer un sujet très vaste qui fournira sans doute aux géomètres l'occasion de nombreuses et importantes découvertes ».